数学公式证明：自然数立方和与勾股定理的巧妙证明过程

数学公式的证明有很多种，下面针对几个常见的公式给出一些巧妙的证明。

（1）自然数立方和=自然数和的平方

上式左边为自然数立方和，等式右边为自然数平方和。虽然可以通过分别推导左右两边的计算公式来证明该式，但是可以用下图直观地证明上述式子：

如果我们将自然数立方和的图形拉平，我们可以看到立方数恰好是自然数和的平方，因此我们可以证明上述等式成立。

（2）勾股定理

这个公式就是勾股定理。我国在商朝时期就已经发现直角三角形的一个特例——勾股定理等于直角三角形。后来中外数学家用各种方法证明了这个公式。下面是加菲尔德证明方法的改良版，可以很方便地证明勾股定理：

大正方形的面积是：

(a+b)^2

大正方形的面积也等于四个三角形的面积与小正方形的面积之和：

4×(1/2ab)+c^2

由此我们可以得出以下公式：

(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2

经过简化，我们可以得到勾股定理：

a^2+b^2=c^2

（3）欧拉恒等式

这个公式就是著名的欧拉恒等式，被誉为最美的数学公式。这个非常简单的公式，融合了数学中最重要的常数——自然常数e，虚数单位i，π，自然数1，自然数0，以及最重要的数学符号——加号+和等号=。

欧拉恒等式由以下欧拉公式推导而来：

对欧拉公式 e^(iθ) 左边进行泰勒展开可得出：

然后分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开，得到：

显然，cosθ 与 sinθ 之和恰好等于 e^(iθ)，这证明了欧拉公式成立。令欧拉公式中的 θ=π，可得如下公式：

e^(iπ)=-1+0

通过转置上式中的各项项，我们最终可以推导出欧拉恒等式的共同形式。

（4）证明 π 是无理数

虽然人类使用圆周率已有 3000 多年的历史，但直到 200 多年前，数学家才首次证明圆周率是无理数。证明圆周率是无理数的方法有很多种。下面是数学家 Ivan M. Niven 给出的反证法，简单而巧妙。

如果 π 是有理数，则必定存在整数 a 和 b 使得下列成立：

π=a/b

构造以下两个函数：

其中 n 是正整数。

显然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)和F(π)都是整数。而且，f(x)和f^k(x)都满足f(x)=f(π-x)，且它们在x=0和x=π处都是可积的。

然后构造函数G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，并对其取导数得到：

对上式两边从 0 到 π 进行积分，可得出以下方程：

由于F(0)和F(π)都是整数，所以F(π)+F(0)也是整数。当x∈(0,π)时，显然f(x)>0且sinx>0，所以f(x)sinx>00是正整数吗，因此F(π)+F(0)>0，且f(x)sinx在[0,π]上的积分为正整数。

当 x∈(0, π)时，显然 a-bx

显然，当n→+∞时，f(x)sinx→0，根据夹挤定理，f(x)sinx在[0,π]上的积分也将趋向于0。但是，上面的推导表明，这个积分是一个正整数，因此两者之间是有矛盾的。这意味着π=a/b不成立，所以π必定是一个无理数。