小学数学中比的定义、由来及与分数的关系

分数和比率

什么是比率？现行小学数学教材是这样定义的：两个数相除也叫两个数的比值。例如6÷4写成6∶4，读作6∶4。课堂上，学生曾提出这样的疑问：“既然两个数相除也叫两个数的比值，那为什么还要学比率呢？”老师也感到很为难和无奈，因为一时无法给学生一个满意的解释。

比较的起源

关于“比”，《辞海》的注释为：数学用语。比较两个相似量a、b之间的关系时，若a以b为单位计量，称为比b，所得数k称为“比”，有a∶b=k或

=k。“：”称为比值符号，比值符号前的a称为比值的第一项，比值符号后的b称为比值的第二项。

常见的量如长度、面积、体积、质量、时间等都是物体可测量的性质。测量包括“度”和“量”两个方面，“度”是测量单位，“量”是测量结果。表示测量结果的数k就是量数。其实量数k就是量与测量单位（同一类型的两个量）的比值。

这种对比率的解释虽然表明比率是在比较两个量之间的关系时产生的，但是它的缺陷在于它不能概括生活中需要比较两个不同类型量的情况。

我们知道，物体除了可测量的属性外，还有很多不可测量的属性，比如形状、速度、单价、颜色、纹理等等。这些属性虽然无法直接测量，但也需要进行比较，比如“这两幅图像不像吗？”“谁跑得更快？”等等。

例1 观察下面的矩形，哪些矩形与矩形A更相似？（北师大数学六年级上册）

矩形的形状与其长度和宽度有关。矩形 B 和 D 与矩形 A 相似，因为这三个矩形的长度都是其宽度的 1.5 倍。

矩形 C 和 E 与矩形 A 不同，因为矩形 C 的长度不是其宽度的 1.5 倍，矩形 E 的长度也不是其宽度的 1.5 倍。

虽然矩形的形状无法测量，但可以使用其两个可测量的量进行比较：长度和宽度。

例2 谁更快？

比较谁跑得更快有两种常用方法：看谁在同样的时间内跑得更远；或者看谁跑同样的距离所花的时间更少。

如果骑行2小时的话，行驶距离为45公里的2/3=30公里。

如果骑行40公里的话，需要的时间就是3小时40/45=8/3小时。

经过必要的计算和比较可以看出，马拉松运动员比自行车运动员的速度更快。

虽然速度不是一个直接可测量的量，但可以通过两个可测量的量来进行比较：距离和时间。

以上两个例子告诉我们，比率源于测量，又超越测量。测量解决了物体可测量属性的可比性问题，而测量只能解决同类量之间的比较问题。比率则是通过两个具有等价关系的可测量量来描述物体不可测量的属性，解决了物体不可测量属性的可比性问题。所谓具有等价关系的两个量，是指对应同一事物的两个量，它们可能是同类的量（如同一个长方形的长和宽），也可能是不同种类的量（如骑自行车的人行进的距离和所用的时间）。

现实世界中的比率与数学世界中的比率的区别在于必须进行抽象。无论是同类量之间的比率，还是不同类量之间的比率，在数学世界中，都必须抛弃它们的物理意义，抽象为两个量的比率；这样的两个量可以表示部分与整体，也可以表示部分与部分，也可以表示两个不同的整体。在数学世界中，为了使新旧知识之间形成推理联系，需要对两个量的比率进行重新定义。这个定义就是“两个数的除法也叫这两个数的比率”。

得分也是

为什么选择除法来定义比率？

首先，比率是比率的量化，比率是比率的分子除以其分母的商，因此很自然地选择除法来定义比率。

其次，分数和比率有着不同的现实背景，也是不同的数学概念。选择除法来定义比率，可以揭开分数和比率的本质联系。即a:b=a÷b=（a≠0，b≠0）

由分数与除法的关系可知，分数可以作为两个数的商，而两个数的除法也可以看作是一种分数的运算结构。将两个数的除法定义为这两个数的比值，使得分数不仅可以表示两个数的比值，而且分数本身也可以表示两个数（分子与分母）的比值。

通过比率除法的定义，将除法、比率、分数等重要数学概念组织成一个综合的、相互联系的整体结构。

分数是抽象的。分数是可以转换成整数比率的数字，但古希腊人和古罗马人试图避免使用分数。例如，他们会说学校里男女生的比例是 4:3，而不是说 4/3 的学生是男生。

根据分数的基本性质，一切分数都可以划分为无穷个等价类，每个分数等价类都可以用其中最简单的分数表示；同样，根据比率的基本性质8除4和8除以4的区别，一切比率都可以划分为无穷个等价类，每个比率等价类都可以用其中最简单的整数比率表示。

最简单的分数也是最简单的整数比。

百分比又叫百分率

我国人口约占世界人口的21%，但是我国的耕地面积只占世界耕地面积的7%左右。21%和7%这两个数字，让我们更了解我国的国情：耕地少，人口多。所以我们要自力更生，埋头苦干，搞好农业，确保我国的粮食安全。

按照中国居民平衡膳食的要求，每人每日摄入的谷类食物约占食物总摄入量的47.4%，油脂类仅占1.3%。

21%、7%、47.4%、1.3% 等数字称为百分比，表示一个数字占另一个数字的百分比。换句话说，百分比是一个表示两个数字比率的分数。因此，百分比也称为百分率或百分数比率。

内容决定形式，形式服务于内容。由于百分比仅仅表示“比率”，所以也被赋予了特殊的形式，即分母100用百分号“%”代替。

分数、小数和百分数之间有什么关系？例如 3/10、0.3、30%。

答案是 3/10、0.3 和 30% 是同一个数。因为它们代表数轴上的同一个点。为什么同一个数需要不同的形式？

同一数字的不同形式都有各自的适用场合，即在不同的场合需要使用不同形式的数字，因此，对于同一数字的不同形式，一定要掌握它们相互转化的方法和技巧，根据不同的场合选择合适的数字形式。