晓查发自凹非寺量子位：一元二次方程的求解公式

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你还记得上面的公式是什么吗？ 是的，它是求解一变量二次方程的公式。

相信很多人初中的时候学起来很吃力，因为这个公式有点难记。 即使你今天还记得，你还能回忆起最初的推导过程吗？

这个公式可能不太适合初学者。 卡耐基梅隆大学数学系副教授、美国国家数学奥林匹克代表队教练罗博深也注意到了这一点。 他在自己的博客中提出了一种比较容易学习的解决方法。

罗博深一直致力于中学生数学教育。 在他的指导下，美国队在2015年、2016年、2018年和2019年获得国际数学奥林匹克（IMO）冠军。

我们来看看他是如何解决的。

解决起来更容易

二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=0。 为简单起见，令 a=1。 （即使不等于1，也可以两边同时除以a）

x2+Bx+C=0

假设该方法的两个解（或根）分别为R和S，则

x2+Bx+C = (xR)(xS) = 0

将右边的等式展开：

x2+Bx+C = x2-(R+S)x+RS

两边对应的系数应该相等：

B=-(R+S)； C=RS

所以R和S之和应该等于-B，它们的平均值是-B/2。 我们可以令这两个数等于-B/2±z，而R与S的乘积等于C，所以(-B/2+z)(-B/2-z)=C，即：

在上一步中，我们使用了平方差公​​式。 上式很容易求出z：

所以方程的解是：

没有必要记住这个公式。 罗博深教授要你记住的是求解过程。 我们先举个例子：

x2-2x-24=0

根据上面的求解过程，我们可以知道这两个解的和为2，因此我们可以假设它们分别为1+z和1-z，它们的乘积为-24：

(1+z)(1-z)=1-z2=-24

所以

z2=25 → z=±5

因此方程的两个解是1+5=6和1-5=-4。 当根为虚数时，此方法也适用。

受到古人的启发

他为什么会想出这个解决方法呢？ 罗博深教授在博客中表示，他参考了一千多年前古巴比伦人和希腊人的解决方案。

其中有3世纪著名的希腊数学家丢番图和7世纪的印度数学家婆罗门笈多。

这些古人解决的实际上是两个变量的二次方程组：x+y=A，xy=B。 该方程组相当于 x2-Ax+B=0。

罗伯深指出，古人懂得解方程组，但很长一段时间不知道一变量二次方程解的标准形式。 因此，课本上的方法显然更难理解。

让代码更具可读性

罗博深教授提出了一种并不高深的推导方法，但却在新闻论坛上引起了广泛讨论。

一位网友表示，原来的公式很容易记住，利用完全平方公式的组合方法就可以轻松求解。

另一位社区学院的老师说，现在学生的数学基础不太好。 很多人不知道抛物线方程、完全平方公式、因式分解等概念。 这个方法确实非常好。

尽管受到一些批评，但仍有网友认为，这种方法将思维从数学推导过程中转移出来一元二次方程公式法，可以看作是在人脑上运行代码。

而且这种方法用在编程中也让代码更具可读性。

如果我们知道一个二次方程两个解的算术平均值 m 和几何平均值 g：

m = (r1 + r2) / 2；
g = sqrt(r1 * r2)

那么这两个解就等于：

r1 = m - sqrt(m^2 - g^2)
r2 = m + sqrt(m^2 - g^2)

罗博深教授的解中，m=-B/2，g=sqrt(C)。 这串代码显然比下面的代码更容易理解。

r1 = (-b - sqrt(b^2 - 4 * a * c)) / (2 * a) 
r2 = (-b + sqrt(b^2 - 4 * a * c)) / (2 * a)

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