朱强介绍自己及一课研究团队，分享小数与负数相关内容

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大家好，我是来自杭州实验性小学的朱·齐安，也是朱·莱皮（Zhu ）著名教师工作站的“一课研究”团队的第21组成员。我很高兴在“一课研究”微信平台上认识您！

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这个问题的内容是什么？

听：“数学学习的心理基础和过程” - 小数和负面

阅读：十进制概念的形成和负数的发展历史

做到：了解您做了什么

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数学学习的心理基础和过程

- 任命，负数

（由Bao 和Zhou Chao撰写）

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小数，负数

小数

小数和分数之间有什么区别？

尽管小数和分数在自然界中具有相似性，但仍然存在许多差异。让我们比较和分析他们的相似性和差异。作为一个值，小数和分数之间有三个相似之处：1。它们都表示O和1之间的值。 2。他们的整体分为许多较小的相等部分； 3。o和1之间有无限的小数或分数。作为一个符号，小数和分数之间存在三个差异：1。在小数中，将单元分为数字的数字在数字的位置隐含，而在馏分中，一个单位被分为几个相等的数字，由非分组器明确定义； 2。在小数中，小数的数量中表示多少等份，而在馏分中，分数的分数中表示多少相等部分； 3。在小数中，整体只能分为10的功率，而在分数中，整数可以分为任何相等的数字。

可以看出，小数和分数之间的差异主要反映在符号的表示系统中。另外，从包括的小数和分数范围内，一些小数（或有理数）可以转换为分数的形式，例如0.6 = 6/10； 0.32 = 32/100。在这种情况下，小数是分数的子集。但是，当馏分中的分母不一定以10的幂形式出现时，通过将分子除以分母获得的数字将产生两种情况：一个是将其分开以获得全部量（例如2/5 = 0.4），这些小数称为有限小数；另一个是将其划分以获得无数量的数量，包括循环小数（例如2/3 = 0.66 ...）和非理性数字（如果不是无限的循环小数，如果不是）。目前，有限的小数和循环小数的结合称为分数集。当不合理的数字也被视为十进制时，一组部分成为小数的子集。

要从分数的角度理解小数的含义，将在小数尺寸的大小相比将产生一种错误：当整数零件相同时，小数点后的位值就越越小，其值就越小。例如，0.54小于0.3，因为0.54具有2个小数位，而0.3只有1个小数位。 等。之所以称之为“分数规则”，是因为这些学习分数的学生将应用分数切割的大小和次数的概念和小数表示的计数器。例如，如果学生已经学会了分数符号表示的含义，则一百分点小于以十分之一表示的零件的数量，因此他驱逐了以两个小数表示的值小于一个小数小数的值，因此学生将拥有“分数规则”错误，即小数较小的值较小的值。

小数和整数的概念有什么区别？

等。比较了三个方面的小数和整数的概念：数字，数字和阅读。他们认为，小数和整数在数值值方面具有三个相同的点和两个不同的点：同一点为1。当数字从左到右移动时，值将变小； 2。左侧的数字是右侧相同数字的10倍； 3。“ o”的含义是一个值。区别在于：当小数的值在数字的右侧增加“ O”时，该值保持不变，而当值增加一个数字的左侧时，该值保持不变；当小数点从右侧开始时，该值会降低，而整数开始向左开始时，值会增加。至于数字，有4个不同的点：1。小数是小数点之后的名称，而小数点之后的名称则以数值顺序读取，而整数在小数点后没有数字； 2。小数的一部分始于数十个，而整数则从单个数字开始。 3。小数点的位名称的顺序是从左到右（十分之一，百分位数，千分之一，...），而整数的位名称的顺序是从右到左（十分之一，十分之一，百分之一，...）; 4。小数点的数量读数顺序是十分之一，百分比，千分之一，...，整数读数的顺序是数千，百分之一百，十分之一，十分之一，单位数字，在阅读小数点时，在读取小数点，小数点的小数点时，在读取的订单中读取了订单，读取了数字。整数小数结构。

儿童以前学到的整数的概念将影响小数概念的正确结构，这使得儿童难以学会判断小数的大小。例如：3.8和3.21之间的尺寸比较。一些孩子认为3.21大于3.8，因为21大于8。这是因为他们忽略了小数点的存在并将小数视为整数。 （，1985）将此类型的错误称为“积分规则”错误。此外，等。还发现，当孩子面对小数点后立即具有“ 0”的十进制数字时，由于他们不完全理解位价值结构时，他们将把“ 0”视为最小或没有含义，因此他们认为包含“ 0”的小数是最小的。 认为儿童的这种反应为“零规则”，并将“零规则”视为整数规则的特殊情况。他们还发现，十进制中存在“ 0”时，学生也将使用整数规则解决“ 0”。他们会认为，在某个数字的左侧添加“ 0”时，该数字的值保持不变；如果将“ 0”添加到一定数字的右侧，则该数字的值将增加。例如，在比较0.8和0.08时，将近五年级的学生中的近一半，而六年级学生中有三分之一认为这两个数字是相等的。如果有两个以上的小数与大小相比，儿童将首先选择小数点“ 0”或更多“ 0”的小数，该小数是最小的小数点之后出现的。只有这样，儿童才会使用整数规则将数字与十进制点右侧的最大数字作为最大数字进行比较。例如：3.214、3.09和3.8比较三个数字的大小，学生将选择3.09作为最小的，因为3.09具有“ 0”；而3.214> 3.8，因为214> 8，3.214大于3.8。

小数的概念是如何形成的？

有两种基本方法可以形成小数的概念：通过分数的“部分和整个”之间的关系，或使用整数的位价值的概念。 “部分和整个”之间的关系用于解释分数的含义。整体平均分配后，分数表示或记录指定部分与整体之间的关系。例如：“ 4/5”可以代表整体的四个部分，分为五个相等的部分。当相等的功率数为10时，即10、100、1000，...，可以将其他特殊的分数记录为：1/10可以记录为0.1、3/10可以记录为0.3、1/100，可以记录为0.01、3/100，可以记录为0.03等。十进制数字是记录几个十分之数的组件，而两个小数号是记录几个百分点的组件...从分数的角度来看，不难理解有限的小数是由“十个相等部分”生成的。可以从组件的十分之一中以相等的部分生产该组件的百分之一，而千分之一的组件可以从组成部分的百分之一中以相等的部分产生……因此，活动的十分之一可以持续下去。这种无限分割的概念可用于说明小数的密度的性质，也就是说，任何两个小数之间都有无限的小数。

让我们看一下来自整数的位值的概念的小数概念的形成。在阿拉伯编号系统中，所有非负整数均以0-9的十个数字及其相对位置表示。在此计数系统下，任何非负整数都可以通过扩展表示。例如：2479 = 2×1000+4×100+7×10+9×1，并且可以将这种膨胀视为基于10的多项式的特殊示例。在此扩展中，2479可以被视为2“千”，4“一百”，7“ ten”和9“一个”的合成结果。 2479的扩展可以显示由该数字的每个数字表示的值，并且该值由该数字的相应位置决定。位置之间的关系可以以10的指数形式表示为10（请注意，目前指数范围限于非负整数）：

因此，非负整数被写成含义：

其中，与单个数字相对应的数字A0表示“一个”单位的数字，与十个数字相对应的数字A1表示“十个”单位的数字，而对应于一百个数字的数字A2表示为“一百个”单位的数字。位值之间的关系还表明，每个单元是右侧相邻的单元的十倍。每个数字的限制最多为9个，即“成整十个成一个”（即十进制）。在此计数系统中，单个位是记录几个的位置，其位值为1；将单个位作为参考点，左数为十个位，这是记录几个数十个位的位置，其位值为10；左钻头是数百个，这是记录数百位的位置，其位值为100，依此类推，可以将其扩展到左侧，而无需限制。

扩展...为了将单个位扩展到右侧，可以将指数范围扩展到负整数；使用将位扩展到左侧的结果是乘以10的结果，因此将位扩展到右侧的结果是分隔10的结果：单个位是参考点

使用将位值扩展到右侧的结果，生成了一个新符号（十进制符号）和一个新的位名称：

这样，计数系统还可以帮助学生掌握小数的含义。例如：由于0.32 = 3×0.1+2×0.01，因此十进制0.32被认为是3“ 0.1”和2“ 0.01”的合成结果。同样，由于单元0.1是右侧单元0.01的十倍，因此小数为0.32也可以被视为32“ 0.01”的合成结果。

许多研究表明，像分数一样，小学生也会在理解小数的概念方面遇到许多困难。

负数

您知道负数的历史吗？

在教授负数的概念时，中国学生似乎没有像西方学生那样多的困难，而这里的原因可能与我们的文化传统有关。从数学发展历史的角度来看，中国在使用负数及其运作方面在世界上在世界上遥遥领先 - 大约2000年前，中国在“九分会”的“等式”一章中介绍了负数的概念以及添加和负数的添加和负面数字的算法。在某些问题中，售出的数量为正（因为是收入），买入数为负（因为付款）；剩下的钱是积极的，不足的钱是负面的。在计算晶粒的计算中，添加的晶粒为正，减去晶粒为负。从那时起，已经使用了“正”和“负”术语。在“方程式”一章中，添加引入正数和负数的方法称为“正和负面技术”。正数和负数的乘法和分裂定律似乎相对较晚。在1299年，朱·夏（Zhu ）撰写的“算术启蒙”中，“敏化正和负面技术”谈论了正数和负数的加法和减法，总共有八个项目，这比“九章 of ”更清楚。在“ ming乘法和分裂部分”中，有一个句子“具有与正的名称相同的倍数，而乘以不同名称为负的句子”，这是当前的正数和负数规则，这是中国最早的记录。在歌曲王朝的结尾，李叶还使用芯片的计算来添加倾斜标记以表示负数。负面数字概念的引入是中国古代数学最杰出的作品之一。

印度提出的负数的第一件事是大约在628左右。他提出了负数算法，并使用小点或圆圈表示数字的负数。相比之下，欧洲要晚了，更难理解负数的概念。提出负数概念的第一个人是意大利数学家斐波那契。他说，在解决利润问题的解决方案中：我将证明这个问题无法解决，除非承认该人可以负债累累。尽管在15世纪和16世纪的也发现了负数，但他们都认为负数是荒谬的。卡给了方程式的负根，但称为“错误数字”。 Veda知道存在负数，但他根本不想要负数。笛卡尔部分接受了负数，他将方程式的负根称为假根，因为它小于“无”。哈里奥特（）在方程式的一侧单独写下负数，并用“一个”表达它们，但他不接受负数。 清楚地定义了负数。基拉德（Kirad）的负数等于正数，并使用负符号“一个”来表示负数。简而言之，在16和17世纪，尽管欧洲人暴露于负数，但接受负数的进展很慢。关于“负数”是否持续了数百年的辩论，然后逐渐实现相对一致的观点：负数与正数和零相同，并且也是数字。负面数字概念的引入使加法操作的反操作毫无障碍，但这也给学生的学习带来了许多理解的困难，例如“比没有什么比没有”？为什么“负面是正面的”？著名的数学家和物理学家帕斯卡（）曾经举例说明：有一天，他与他的朋友，神学家和数学家聊天。突然，说：“始终是'少数：较大数字=较小的数字：较大数字'，但是在出现负数后，（1）：1 = 1：（1）。换句话说，'小数：较小的数字=较大的数字=较大数字：较小的数字：较小的数字'，这难道不是很奇怪吗？”

可以太早地介绍负数的概念可以吗？

在我国新的“全日制强制性教育数学课程标准（实验草案）”中，在小学中引入了负数的概念，涉及对负整数的初步理解。这样做的原因是：首先，因为负数在日常生活中广泛使用，所以学生通常有机会看到生活中的负数并了解负数的一些知识，这将有助于了解生活中遇到的负数的特定含义，从而扩大他们的数学视野；其次，他们适当地了解负数的一些知识，扩展他们对整数的理解，并更好地理解自然数的含义。但是非负整数是什么，关于负数概念是否会给学生带来困难并影响随后的数学学习，仍然缺乏深入的研究。

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做到

填空：

（1）小数和分数之间的差异主要反映在（）中。

（2）可以从三个方面比较小数和整数之间的差异：（），（）和（）。

（3）有两种基本方法可以形成小数的概念：（）和（）。

2。思考：

（1）中国学生在学习负数数字方面真的遇到的困难较少吗？为什么？

（2）过早地引入负数概念会给学生带来困难，并对随后的数学学习产生影响？

参考答案

1。填写空白

（1）符号表示系统的一部分

（2）值，数字和读取

（3）通过分数的“部分和整个”之间的关系，使用了整数的位价值的概念。

2。思考

（1）中国学生在学习负数上遇到的困难较少，这可能与我们的文化传统有关。从数学发展的历史来看，中国在使用负数及其运营方面在世界上取得了进步。 “九章算术”的“方程式”一章中的“正面和负面技术”，以及在后期的歌曲王朝中的“算术启蒙”中正面和负数的乘法规则，使用了倾斜的标记来代表负面数字...这些都是负面的经验，这些都是有价值的经验和财富。引入负数概念是中国古代数学最杰出的作品之一。

（2）仍然缺乏深入研究。我们需要加强实证研究。

如果您盛开，蝴蝶会来