学会解直角三角形，中考轻松多分10分

直角三角形是初中几何中最重要的内容之一。可以说是每年数学高考必考的几何热点话题之一。其中，求解直角三角形是直角三角形最经典的应用内容，例如高度测量、距离测量、导航、大坝横截面等实际问题。历来受到中考数学命题老师的青睐。

在一些文章中，我经常强调运用数学知识解决实际问题一直是中考数学考试的重点。正因为解直角三角形能够很好地解决实际问题，所以成为了中考的热门话题之一。

什么是解直角三角形？

直角三角形中，除直角外，共有五个要素，即三条边和两个锐角。从直角三角形中除直角以外的已知元素中找出所有未知元素的过程称为解直角三角形。

解直角三角形需要除直角之外的两个元素，并且至少一个元素是边。

直角三角形的两个最常见的属性是：

1、直角三角形的两个锐角互补。

可以表示为：A+B=90

2.勾股定理

直角三角形的两条直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

中考数学，解直角三角形，典型例题分析1：

2016年2月1日，在西昌卫星发射中心，我国利用长征三号丙运载火箭成功将第五颗新一代北斗星送入预定轨道。如图所示，火箭从地面L处发射。当火箭到达A点时，从地面R处雷达站测得AR距离为6km，仰角为42.4； 1秒后火箭到达B点，测得仰角为45.5。

(1)求发射机与雷达站之间的距离LR；

（2）求这枚火箭从A到B的平均速度（结果精确到0.01）？

（参考数据：son42.40.67、cos42.40.74、tan42.40.905、sin45.50.71、cos45.50.70、

tan45.51.02)

解： (1) 在RtALR中，AR=6km，ARL=42.4，

由cosARL=RL/AR，可得LR=AR·cosARL=6cos42.44.44 (km)。

答：发射台到雷达站的距离LR为4.44km；

(2) 在RtBLR中，LR=4.44km，BRL=45.5，

由tanBRL=BL/LR，

求得BL=LR·tanBRL=4.44tan45.54.441.02=4.5288（km），

又sinARL=AL/AR，可得AL=ARsinARL=6sin42.44.02 (km)，

AB=BLAL=4.52884.02=0.50880.51（公里）

答：这枚火箭从A点到B点的平均速度约为0.51公里/秒。

测试点分析：

毕达哥拉斯定理的应用。

题干分析：

（1）根据题意，直接利用锐角三角函数关系得到LR=AR·cosARL即可求出答案；

（2）根据题意，直接利用锐角三角函数关系得到BL=LR·tanBRL，然后利用AL=ARsinARL求AB的值，即可得到答案。

解决问题的反思：

本题主要考验对直角三角形应用的理解。正确选择锐角三角函数之间的关系是解决问题的关键。

中考数学，解直角三角形，典型实例分析2：

为了测量AB栋楼的高度，小华从楼底B栋爬坡20m，到达坡顶D栋。已知斜坡的倾斜角度为15。 （以下计算结果精确到0.1m）

(1)求此时小花与地面的垂直距离CD的值；

(2)小花的身高ED为1.6m。当他站在坡顶上看屋顶A的仰角时，是45。求建筑物AB 的高度。

解： (1) 在RtBCD中，CBD=15，BD=20，

CD=BD·sin15，

CD=5.2(m)

答：小花与地面的垂直距离CD为5.2m；

(2) 在RtAFE中，

AEF=45，

AF=EF=BC,

由(1)可知BC=BD·cos1519.3(m)，

AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1 (m)

答：AB 楼高度为26.1m。

测试点分析：

解决直角三角形的应用——仰角和俯角问题；解决直角三角形的应用——斜角问题。

题干分析：

(1) 利用RtBCD，CBD=15，BD=20，可得答案CD=BD·sin15；

(2) 由图可知：AB=AF+DE+CD。利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求AF即可得到答案。

解决问题的反思：

本题考查直角三角形的应用。问题涉及俯仰角和倾斜角。解决问题的关键是构造一个直角三角形。

我们将锐角A的正弦、余弦、正切、余切称为A的锐角三角函数。

记住锐角三角函数的概念：

在ABC中，C=90

锐角A的对边与斜边的比值称为A的正弦，记为sinA，

即sinA=A=a/c的对边/斜边。

锐角A的邻边与斜边的比值称为A的余弦，记为cosA，

即cosA=A=b/c的对边/斜边。

锐角A的对边与邻边之比称为A的正切，记为tanA，

即，tanA=A的对边/A的邻边=a/b。

锐角A的邻边与对边之比称为A的余切，记为cotA，

即cotA=A的邻边/A的对边=b/a。

认真掌握下列锐角三角函数之间的关系：

1. 互惠关系

sinA=cos(90—A), cosA=sin(90—A)

tanA=cot(90—A), cotA=tan(90—A)

2.平方关系

sin2A+cos2A=1

3. 互惠关系

tanA·tan(90—A)=1

4. 切弦关系

tanA=sinA/cosA

中考数学，解直角三角形，典型实例分析3：

如图所示，有两棵直树CD、EF。有一天，他在A处测量了DAC=30处的树顶D仰角，在B处测量了FBE=45处的树顶F仰角。线段BF恰好穿过树顶D，已知A、B之间的距离为2米，两棵树之间的距离CE为3米，则A、B、C、E四个点分别为在一条直线上，求树的高度EF。 （结果四舍五入至小数点后一位）

测试点分析：

解决直角三角形的应用——高低问题；应用问题。

题干分析：

假设CD=xm，首先在RtBCD中，由于DBC=45，则根据等腰直角三角形的性质得到BC=CD=x，然后在RtDAC中，利用切线定义得到x 的关系式，求解得到x的值，即BC=CD，然后在RtFBE中，根据等腰直角三角形的性质，可得FE=BE=BC+CE5.7。

解决问题的反思：

本题考察直角三角形的应用——仰角问题：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线之间的角度。要解决此类问题，您需要了解角度之间的关系，并找到与已知和未知相关的直角三角形。当图中没有直角三角形时，需要通过做高或垂线来构造直角三角形。另外，当问题以实际问题的形式给出时，要善于理解问题的含义，将实际问题归结为直角三角形的边和角的关系来解决。

要想运用解直角三角形相关知识解决实际问题，首先要学会从实际问题出发建立直角三角形模型，并利用锐角三角函数解决实际问题。其中一些“特殊”的知识点一定要仔细记住，比如仰角、俯角、坡度等。

1、仰角：视线与水平线形成的角度中，视线高于水平线的角度称为仰角。

2、俯角：视线与水平线形成的角度中，视线低于水平线的角度称为俯角。

3、斜率：铅锤高度（h）与斜面水平长度（l）的比值称为斜率（斜率比），记为i，即i=h/l。

记住一些特殊角度的三角函数值：

根据此表，我们发现角度在0到90之间变化时，锐角三角函数的增减：

1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

4. 余切值随着角度增大（或减小）而减小（或增大）。